Intégrales impropres

  • Fonctions localement intégrables

Fonctions localement intégrables

On considère un intervalle $\mathcal{I}$ de $\mathbb{R}$ qui n'est ni vide, ni réduit à un point et qui n'est pas un intervalle fermé borné. Il est donc d'un des types énumérés plus haut. On considère une fonction $f$ réelle définie sur $\mathcal{I}$. On supposera $f$ localement intégrable sur $\mathcal{I}$.

DéfinitionDéfinition

Une fonction $f$ localement intégrable sur $\mathcal{I}$ est une fonction intégrable sur tout intervalle fermé borné contenu dans $\mathcal{I}$.

Par exemple si $\mathcal{I}=[a,+\infty[$ cela signifie que, pour tout $x>a$, l'intégrale existe $\int_{a}^x {f(t)dt}$, ou encore que la fonction $\mathcal{F}\mapsto\int_{a}^x {f(t)dt}$ est définie sur l'intervalle $[a,+\infty[$.

Exemple

  • la fonction $x\mapsto\frac{1}{x}$ est localement intégrable sur les intervalles $]-\infty,0[$ et $]0,+\infty[$ ;

  • la fonction logarithme est localement intégrable sur l'intervalle $]0,+\infty[$ ;

  • la fonction $x\mapsto\frac{1}{1-x^2}$ est localement intégrable sur les intervalles $]-\infty,-1[$, $]-1,1[$ et $]1,+\infty[$ .

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